关于字典积图的局部反魔色数的注记

设 $G = (V,E)$ 为一个连通简单图。若对任意两个相邻顶点 $u$ 和 $v$ 均有 $f^+(u) \neq f^+(v)$，其中 $f^+(u) = \sum_{e\in E(u)} f(e)$ 且 $E(u)$ 为与 $u$ 关联的边集，则称双射 $f: E \rightarrow \{1,2,\ldots,|E|\}$ 为 $G$ 的一个局部反魔标号。若 $G$ 至少存在一个局部反魔标号，则称图 $G$ 为局部反魔的。局部反魔色数记为 $\chi_{la}(G)$，定义为在 $G$ 的所有局部反魔标号下所用诱导颜色数的最小值。设 $G$ 和 $H$ 为两个不相交的图。图 $G[H]$ 由 $G$ 与 $H$ 的字典积得到。本文给出了 $\chi_{la}(G[H])\leq \chi_{la}(G)\chi_{la}(H)$ 成立的充分条件。据此，我们给出满足 $\chi_{la}(G[H]) = \chi(G)\chi(H)$ 的图 $G$ 和 $H$ 的实例，其中 $\chi(G)$ 为 $G$ 的色数。我们猜想：(i) 存在无穷多对图 $G$ 和 $H$ 使得 $\chi_{la}(G[H])=\chi_{la}(G)\chi_{la}(H) = \chi(G)\chi(H)$；(ii) 对于 $k\ge 1$，当且仅当 $\chi(G)\chi(H) = 2\chi(H) + \lceil\frac{\chi(H)}{k}\rceil$ 时 $\chi_{la}(G[H]) = \chi(G)\chi(H)$，其中 $2k+1$ 为 $G$ 中最短奇圈的长度。