关于合并图图的局部反魔全标号

设 $G = (V,E)$ 为阶 $p$、大小 $q$ 的连通简单图。若 $G$ 容许局部反魔（全）标号，则称图 $G$ 为局部反魔（全）的。双射 $g : E \to \{1,2,\ldots,q\}$ 称为 $G$ 的局部反魔标号，若对任意相邻顶点 $u$ 与 $v$，有 $g^+(u) \ne g^+(v)$，其中 $g^+(u) = \sum_{e\in E(u)} g(e)$，$E(u)$ 为与 $u$ 关联的边集。类似地，双射 $f:V(G)\cup E(G)\to \{1,2,\ldots,p+q\}$ 称为 $G$ 的局部反魔全标号，若对任意相邻顶点 $u$ 与 $v$，有 $w_f(u)\ne w_f(v)$，其中 $w_f(u) = f(u) + \sum_{e\in E(u)} f(e)$。因此，若将顶点 $v$ 赋以颜色 $g^+(v)$（相应地，$w_f(u)$），任意局部反魔（全）标号诱导出 $G$ 的一个正常顶点着色。局部反魔（全）色数记为 $\chi_{la}(G)$（相应地 $\chi_{lat}(G)$），是 $G$ 的所有局部反魔（全）标号所诱导颜色数的最小值。本文中，我们对 $G$ 为完全图的合并图确定了 $\chi_{lat}(G)$。