关于完全满 $t$ 叉树的局部反魔顶点染色

设 $G = (V, E)$ 为一个无 $K_2$ 分支的有限简单无向图。若对任意两个相邻顶点 $u$ 和 $v$，它们具有不同的顶点和，即 $w(u) \neq w(v)$，其中顶点和 $w(u) = \sum_{e \in E(u)} f(e)$，$E(u)$ 为与 $u$ 关联的边集，则称双射 $f : E \rightarrow \{1, 2,\cdots, |E|\}$ 为局部反魔标号。因此，任何局部反魔标号都诱导出 $G$ 的一个正常顶点染色，其中顶点 $v$ 被赋予颜色（顶点和）$w(v)$。局部反魔色数 $\chi_{la}(G)$ 为在所有由 $G$ 的局部反魔标号诱导的染色中取的最少颜色数。文献 \cite{Aru-Wang} 猜想：对每棵树 $T$，局部反魔色数满足 $l+ 1 \leq \chi_{la} ( T )\leq l+2$，其中 $l$ 为 $T$ 的叶子数。本文中，我们对完全满 $t$ 叉树（$t \geq 2$）验证了上述猜想。完全满 $t$ 叉树是一棵有根树，其中除叶子外所有结点恰有 $t$ 个子结点，且每个叶子深度相同。特别地，我们得到所有完全满 $t$ 叉树的局部反魔色数在 $t$ 为奇数时恰为 $l+1$。