将图划分为不含指定团的无导出子图

设 $K_p$ 为阶数 $p\geq 2$ 的完全图。图 $H$ 的 $K_p$-free $k$-染色是将 $V(H)$ 划分为 $V_1, V_2\ldots,V_k$，使得对于每个 $i\leq k$，$H[V_i]$ 不包含 $K_p$。1977 年，Borodin 和 Kostochka 猜想，任何最大度 $\Delta(H)\geq 9$ 且不含 $K_{\Delta(H)}$ 作为子图的图 $H$，其色数最多为 $\Delta(H)-1$。作为 Borodin-Kostochka 猜想的类比，我们证明如果 $p_1\geq \cdots\geq p_k\geq 2$，$p_1+p_2\geq 7$，$\sum_{i=1}^kp_i=\Delta(H)-1+k$，且 $H$ 不包含 $K_{\Delta(H)}$ 作为子图，则存在 $V(H)$ 的一个划分 $V_1,\ldots,V_k$，使得对于每个 $i$，$H[V_i]$ 不包含 $K_{p_i}$。特别地，如果 $p\geq 4$ 且 $H$ 不包含 $K_{\Delta(H)}$ 作为子图，则 $H$ 允许 $K_p$-free $\lceil{\Delta(H)-1\over p-1}\rceil$-染色。Catlin 证明了每个具有 $\Delta(H)\geq 3$ 的连通非完全图 $H$ 有一个 $\Delta(H)$-染色，使得其中一个色类是最大 $K_2$-free 子集（最大独立集）。在这方面，我们证明了如果 $p\geq 4$，$q\geq 3$，$p+q=\Delta(H)+1$，且其团数 $\omega(H)=p$，则存在 $H$ 顶点的一个划分 $V_1$ 和 $V_2$，使得 $H[V_1]$ 不包含 $K_{p}$，$H[V_2]$ 不包含 $K_{q}$，且 $V_1$ 是 $V(H)$ 的最大 $K_p$-free 子集。