Borodin-Kostochka 猜想与将图划分为无指定大小团的类

对于给定的图 $H$ 与图性质 $P_1, P_2,\ldots,P_k$,若存在 $V(H)$ 划分为 $k$ 个集合 $V_1, V_2\ldots,V_k$,使得对每个 $i\in[k]$,由 $V_i$ 诱导的子图具有性质 $P_i$,则称图 $H$ 是 $(V_1, V_2,\ldots,V_k)$-可划分的。1979 年,Bollob\'{a}s 与 Manvel 证明:对于最大度 $\Delta(H)\geq 3$ 且团数 $\omega(H)\leq \Delta(H)$ 的图 $H$,若 $\Delta(H)= p+q$,则存在 $V(H)$ 的 $(V_1,V_2)$-划分,使得 $\Delta(H[V_1])\leq p$,$\Delta(H[V_2])\leq q$,$H[V_1]$ 是 $(p-1)$-退化的,且 $H[V_2]$ 是 $(q-1)$-退化的。设 $p_1\geq p_2\geq\cdots\geq p_k\geq 2$ 为 $k$ 个正整数且 $\sum_{i=1}^k p_i=\Delta(H)-1+k$。设对每个 $i\in[k]$ 性质 $P_i$ 意指 $\omega(H[V_i])\leq p_i-1$。$H$ 是否是 $(V_1,\ldots,V_k)$-可划分图?1977 年,Borodin 与 Kostochka 猜想:任意最大度 $\Delta(H)\geq 9$ 且不以 $K_{\Delta(H)}$ 为子图的图 $H$,其色数至多为 $\Delta(H)-1$。Reed 证明该猜想在 $\Delta(G) \geq 10^{14}$ 时成立。当 $p_1=2$ 且 $\Delta(H)\geq 9$ 时,上述问题即 Borodin-Kostochka 猜想。因此,当所有 $p_i$ 均等于 $2$ 且 $\Delta(H)\leq 8$ 时,上述问题的答案为否。设 $H$ 为最大度 $\Delta$、团数 $\omega(H)$ 且满足 $\omega(H)\leq \Delta-1$ 的图。本文旨在研究 $k\geq 2$ 且 $\Delta\geq 13$ 时的该问题。特别地,作为 Borodin-Kostochka 猜想的类比,对于 $\Delta\geq 13$ 且 $p_i\geq 2$ 的情形,我们证明上述问题为真。