有向图中无配对多对多不相交路径覆盖的最小半度条件

对于有向图 $D$，令 $\delta^{0}(D) = \min \{\delta^{+}(D), \delta^{-}(D)\}$ 为 $D$ 的最小半度。一组 $k$ 条顶点不相交路径 $\{P_{1}, \dots, P_{k}\}$，连接不相交源集 $S = \{s_{1}, \dots, s_{k}\}$ 与汇集 $T = \{t_{1}, \dots, t_{k}\}$，若每条 $P_{j}$ 连接 $s_{j}$ 与 $t_{\sigma(j)}$（其中 $\sigma$ 为 $\{1, \dots , k\}$ 上的某个置换）且 $\bigcup^{k}_{j=1} V(P_{j}) = V(D)$，则称为 $D$ 的一个无配对多对多 $k$-不相交有向路径覆盖（简称 $k$-DDPC）。本文对如下结果给出新的证明：每个满足 $\delta^{0}(D) \geq \lceil (n+k) / 2 \rceil$ 的有向图 $D$ 都存在连接任意不相交源集 $S$ 与汇集 $T$ 的无配对多对多 $k$-DDPC，其中 $S = \{s_{1}, \dots, s_{k}\}$ 且 $T = \{t_{1}, \dots, t_{k}\}$。此外，我们证明当 $n \geq 3k$ 时该最小半度界是最佳可能的。