高度连通 tournaments 链接猜想的证明

一个有向图 $D$ 若对每个 $2k$ 个互不相同的顶点 $x_1,\ldots , x_k, y_1, \ldots , y_k$ ，都存在 $k$ 条两两顶点-disjoint 路径 $P_1,\ldots, P_k$ 使得 $P_i$ 从 $x_i$ 开始、到 $y_i$ 结束，则称 $D$ 为 $k$ -linked。2021 年，Gir\~{a}o、Popielarz 和 Snyder 在 [Combinatorica 41 (2021) 815--837] 中提出如下猜想：存在常数 $C >0$ 使得每个 $(2k+1)$ -connected tournament，其最小出度至少为 $Ck$ ，是 $k$ -linked。本文通过构造一个具有最小出度至少为 $\frac{k^2+11k}{26}$（当 $k\geq 42$ 时）的反例族来否定此猜想。进一步地，我们证明每个 $(2k+1)$ -connected semicomplete digraph $D$ 若其最小出度至少为 $7k^2 + 36k$ ，则是 $k$ -linked。该结果在连通性和最小出度方面均为最佳（最多相乘因子），它细化并推广了 Gir\~{a}o、Popielarz 和 Snyder 的早期结果。