高度连通有向图中具有指定阶数的二分划

如果一个有向图对于每对有序的不同顶点$x, y$都存在从$x$到$y$的有向路径，则称其为强连通的；如果它至少有$k+1$个顶点，并且删除任意一组至多$k-1$个顶点后仍保持强连通，则称其为强$k$-连通的。对于有向图$D$，我们用$\delta(D)$表示$\mathop{\text{min}}\limits_{v\in V (D)} {|N_D^+(v)\cup N_D^-(v)|}$。在本文中，我们展示了以下结果。设$k, l, n, n_1, n_2 \in \mathbb{N}$满足$n_1+n_2\leq n$且$n_1,n_2\geq n/20$。假设$D$是一个阶数为$n$、$\delta(D)\geq n-l$的强$10^7k(k+l)^2\log(2kl)$-连通有向图。那么存在两个不相交的子集$V_1, V_2\in V(D)$，满足$|V_1| = n_1$和$|V_2| = n_2$，使得$D[V_1]$、$D[V_2]$和$D[V_1, V_2]$都是强$k$-连通的。特别地，当$n_1+n_2=n$时，$V_1$和$V_2$构成$V(D)$的一个划分。该结果改进了Kim、Kühn和Osthus [SIAM J. Discrete Math. 30 (2016) 895--911]的早期结果。