关于竞赛图的生成连通性

设 $D$ 为一个有向图。 $D$ 中 $u$ 与 $v$ 之间的 $k$-容器 $C(u,v)$ 是 $u$ 与 $v$ 之间一组 $k$ 条内部不相交的路径。若 $D$ 的 $k$-容器 $C(u,v)$ 包含 $D$ 的所有顶点，且存在一组 $k$ 条同向（相应地，允许不同方向）的内部不相交路径介于 $u$ 与 $v$ 之间，则称其为强（相应地，弱） $k^{*}$-容器。若任意两个不同顶点间均存在强（相应地，弱） $k^{*}$-容器，则称有向图 $D$ 是 $k^{*}$-强连通（相应地， $k^{*}$-弱连通）的。我们定义有向图 $D$ 的强（相应地，弱）生成连通性 $\kappa_{s}^{*}(D)$（相应地， $\kappa_{w}^{*}(D)$）为最大的整数 $k$，使得若 $D$ 是 $1^{*}$-强连通（相应地， $1^{*}$-弱连通）的，则对所有 $1\leq \omega\leq k$， $D$ 是 $\omega^{*}$-强连通（相应地， $\omega^{*}$-弱连通）的。本文中，我们证明：对于具有 $n$ 个顶点且不规则度 $i(T)\leq k$ 的竞赛图 $T$，若 $n\geq6t+5k$ $(t\geq2)$，则 $\kappa_{s}^{*}(T)\geq t$；若 $n\geq6t+5k-3$ $(t\geq2)$，则 $\kappa_{w}^{*}(T)\geq t+1$。