关于多部竞赛图 $D$ 的图序列 $\left\{ C^m(D) \right\}_{m=1}^{\infty}$ 的收敛性

给定一个正整数 $m$，有向图 $D$ 的 $m$-步竞争图，记作 $C^m(D)$，与 $D$ 具有相同的顶点集，并且顶点 $u$ 和 $v$ 之间存在一条边当且仅当存在一个顶点 $w$，使得分别存在从 $u$ 到 $w$ 和从 $v$ 到 $w$ 的长度为 $m$ 的有向途径。在本文中，我们基于多部竞赛图 $D$ 的最后一个非平凡强分支，完全刻画了 $\{C^m(D)\}_{m=1}^{\infty}$ 的收敛性。此外，我们不仅确定了收敛情况下的极限，而且在发散的情况下，也详细说明了 $C^m(D)$ 如何根据 $m$ 的值周期性变化。我们的结果扩展了 Jung 等人 [On the limit of the sequence $\{C^m (D)\}_{m=1}^{\infty}$ for a multipartite tournament $D$. Discrete Appl. Math., 340:1--13, 2023] 的工作，该工作处理了最后一个强分支为非平凡的情况，从而完成了对多部竞赛图 $D$ 的 $\{C^m(D)\}_{m=1}^{\infty}$ 的收敛性分析。我们的结果也可以用 $D$ 的邻接矩阵 $A$ 的矩阵序列 $\{A^m(A^T)^m\}_{m=1}^{\infty}$ 来表达，这部分内容也在文中有所涉及。