多部竞赛图的生态位图

有向图 $D$ 的生态位图以 $V(D)$ 为顶点集，若对某个 $w \in V(D)$ 有 $(u,w) \in A(D)$ 且 $(v,w) \in A(D)$，或 $(w,u) \in A(D)$ 且 $(w,v) \in A(D)$，则存在边 $uv$。生态位图的概念由 Cable 等人（1989）作为竞争图的一种变体引入。若某图是有向图 $D$ 的生态位图，则称其通过 $D$ 可生态位实现。若图 $G$ 对整数 $k \ge 2$ 通过 $k$ 部竞赛图可生态位实现，则称数对 $(G, k)$ 可生态位实现。Bowser 等人（1999）研究了通过竞赛图可生态位实现的图，Eoh 等人（2018）研究了 $k=2$ 时可生态位实现的数对 $(G, k)$。本文中，我们研究当 $G$ 为图且 $k$ 为不小于 $3$ 的整数时的可生态位实现数对 $(G, k)$，以扩展他们的工作。我们证明当 $k \ge 3$ 时 $k$ 部竞赛图的生态位图至多有三个连通分支，当 $k \ge 4$ 时连通。随后我们找出了当 $G$ 为不连通图、完全图以及无三角形连通图时的所有可生态位实现数对 $(G, k)$。