具有许多洞但竞争数较小的图

图G的竞争数k(G)是使得G加上k个孤立顶点后成为某个无环有向图的竞争图的最小整数k。图中长度至少为4的无弦圈称为图的一个洞。图的洞数与其竞争数密切相关，因为不含洞的图的竞争数至多为1，而完全二分图$K_{\lfloor \frac{n}{2} \rfloor, \lceil \frac{n}{2} \rceil}$（其洞数极多，无法再增加）的竞争数是具有n个顶点的图中最大的。在本文中，我们证明即使连通图G有许多洞，在某些假设下，G的竞争数也可以小至2。此外，我们证明，对于一个恰好有h个洞且至多有一个非边极大团的连通图G，如果G的所有洞两两边不交，且G的团数$\omega = \omega (G)$满足$2 \leq \omega \leq h+1$，则G的竞争数至多为$h - \omega + 3$。