关于图的小闭类的纯性

给定一个至少有一条边的图 $H$，令 $\operatorname{gap}_{H}(n)$ 表示两个不含 $H$ minors 的 $n$ 顶点边极大图中的边数之最大差值。我们证明，对于恰好四个连通图 $H$（至少有两个顶点），不含 $H$ minors 的图类是纯的，即对于所有 $n \geq 1$，$\operatorname{gap}_{H}(n) = 0$；并且对于每个连通图 $H$（至少有两个顶点），存在二分性：要么 $\operatorname{gap}_{H}(n) = O(1)$，要么 $\operatorname{gap}_{H}(n) = \Theta(n)$。此外，如果 $H$ 是 2-连通的且不产生纯类，则存在常数 $c>0$ 使得 $\operatorname{gap}_{H}(n) \sim cn$。当 $H$ 不连通或存在两个或更多排除 minors 时，我们也给出了一些部分结果。