有向图与竞赛图的可逆性

对于有向图 $D$ 和子集 $X\subseteq V(D)$，$D$ 中 $X$ 的逆变换是指通过反转 $D$ 中两端点均在 $X$ 内的边的方向所得到的有向图。$D$ 的逆变换数 $\textrm{inv}(D)$ 是指将 $D$ 依次进行逆变换以产生无环有向图所需的最少逆变换次数。针对 Bang-Jensen、da Silva 和 Havet 近期提出的一个问题，我们证明了对每个 $k\in\mathbb{N}$ 和竞赛图 $T$，判定 $\textrm{inv}(T)\leq k$ 的问题可在时间 $O_k(|V(T)|^2)$ 内求解，且该界对所有 $k$ 均为紧的。特别地，当以 $k$ 为参数时该问题是固定参数可处理的。另一方面，我们基于他们的工作证明了其猜想：对 $k\geq 1$，判定一般定向图 $D$ 是否满足 $\textrm{inv}(D)\leq k$ 是 NP 完全的。我们还构造了逆变换数等于其圈横截数两倍的定向图，证实了 Bang-Jensen、da Silva 和 Havet 的另一个猜想，并针对他们关于所谓“双连接”有向图逆变换数的猜想给出了反例，同时证明了该猜想在某些情形下成立。最后，我们在该背景下渐近地解决了自然的极值问题，改进了 Belkhechine、Bouaziz、Boudabbous 和 Pouzet 之前的界，证明了 $n$ 个顶点的竞赛图的最大逆变换数为 $(1+o(1))n$。