dijoin与blow-up有向图的逆序数

对于有向图 $D$，$X \subseteq V(D)$ 在 $D$ 中的逆序（$inversion$）是通过反转所有两端都在 $X$ 中的弧的方向而得到的图。$D$ 的逆序数，记为 $inv(D)$，是将 $D$ 变换为无环有向图所需的最小逆序次数。本文首先证明，对于任何逆序数 $inv(D)$ 为偶数的有向图 $\textit{D}$，有 $inv (\overrightarrow{C_3} \Rightarrow D)= inv(D) +1$，其中 dijoin $\overrightarrow{C_3} \Rightarrow D$ 是由 $\overrightarrow{C_3}$ 与 $D$ 的不相交并集添加所有从 $\overrightarrow{C_3}$ 到 $D$ 的弧得到的有向图。因此，我们否证了 Aubian 等人\cite{2212.09188} 的猜想以及 Alon 等人\cite{2212.11969} 的猜想。我们还研究了 blow-up 图，即通过将所有顶点替换为有向图而从竞赛图得到的有向图。我们利用 blow-up 图构造了一个阶为 $n$ 且 $inv(T)=\frac{n}{3}+1$ 的竞赛图 $T$。