倒置图的直径

在有向图中, 顶点子集X的倒置由反转X中两个端点的所有弧的方向构成。标记图G的倒置图记为${\mathcal{I}}(G)$, 其顶点为G的所有标记定向, 两个标记定向${\vec{G}}_1$和${\vec{G}}_2$之间若存在倒置X将${\vec{G}}_1$转化为${\vec{G}}_2$, 则二者相邻。本文研究图的倒置直径, 即其倒置图的直径$diam({\mathcal{I}}(G))$。我们证明, 倒置直径与星染色数、无环染色数和有向染色数密切相关。因此, 图类具有有限倒置直径当且仅当其亦具有有限星染色数、无环染色数和有向染色数。我们给出若干上界, 适用于以下图类: 平面图（$diam({\mathcal{I}}(G)) \leq 12$）、 girth为8的平面图（$diam({\mathcal{I}}(G)) \leq 3$）、最大度为$\Delta$的图（$diam({\mathcal{I}}(G)) \leq 2\Delta -1$）、宽度最多为t的图（$diam({\mathcal{I}}(G)) \leq 2t$）。我们还表明, 确定给定图的倒置直径是NP难题。