零除数图的直径与周长研究

设 $S$ 为带零元的幂逆半群，记其关于自然偏序 $\le$ 的非零除数集合为 $Z(S)^\times$，即 $a \in Z(S)^\times$ 当且仅当存在 $b\in S\setminus\{0\}$ 使得 $\omega(a, b) = \{c \in S: c \leq a\ \mbox{and}\ c \leq b\}=\{0\}$。集合 $Z(S)^\times$ 构成对应的{\it 零除数图} $\Gamma(S)$ 的顶点，两个互异顶点 $a, b$ 若满足 $\omega(a, b)=\{0\}$ 则两者之间有边。我们以直径和周长为工具，对幂逆半群的零除数图进行特征描述。我们还通过建立幂逆半群中最小群同余 $\sigma$ 与直径(周长)之间的联系，进而对无零元的幂逆半群进行分类。最后，我们给出图的逆数半群 $I(G)$ 的直径和周长关于图 $G$ 的顶点集与边集的描述。