对称逆半群的交换图

设 $S$ 为有限非交换半群，其交换图 $\cg(S)$ 是以 $S$ 的非中心元素为顶点的简单图，两个不同顶点 $x,y$ 相邻当且仅当 $xy=yx$。令 $\mi(X)$ 为有限集 $X$ 上部分单射变换构成的对称逆半群。半群 $\mi(X)$ 以 $X$ 上置换的对称群 $\sym(X)$ 为其单位群。1989 年，Burns 和 Goldsmith 确定了 $\sym(X)$ 的交换图的团数。2008 年，Iranmanesh 和 Jafarzadeh 找到了 $\cg(\sym(X))$ 直径的一个上界，而 2011 年，Dol\u{z}an 和 Oblak 声称（但其证明存在漏洞）该上界即为精确值。本文旨在开始研究对称逆半群 $\mi(X)$ 的交换图。我们计算了 $\cg(\mi(X))$ 的团数、$\mi(X)$ 的真理想之交换图的直径，以及当 $|X|$ 为偶数或奇素数幂时 $\cg(\mi(X))$ 的直径。我们证明，当 $|X|$ 为奇数且至少被两个素数整除时，$\cg(\mi(X))$ 的直径要么是 4，要么是 5。在此过程中，我们获得了关于半群的若干结果，例如 $\mi(X)$ 中所有最大阶交换子半群的描述，以及 $\mi(X)$ 中交换逆子半群和交换幂零子半群的类似结果。本文最后提出了若干供组合数学、群论或半群理论专家研究的问题。