模m整数环上线性群和矩阵环的交换图的直径
群论
2010-04-12 v3 组合数学
摘要
群G的交换图，记为Gamma(G)，是一个简单无向图，其顶点为G的非中心元素，且两个不同顶点相邻当且仅当它们交换。设Z_m为整数模m的等价类构成的交换环。本文研究了GL(n,Z_m)的交换图的连通性和直径，以有助于证明如下猜想：对于任何有限群G，当Gamma(G)连通时，其直径存在一个通用上界。对于任意合数m，证明了Gamma(GL(n,Z_m))和Gamma(M(n,Z_m))是连通的，且diam(Gamma(GL(n,Z_m))) = diam(Gamma(M(n,Z_m))) = 3。对于素数m，当Gamma(GL(n,Z_m))和Gamma(M(n,Z_m))连通时，其连通性实例和直径的绝对界由先前结果得出。
引用
@article{arxiv.1003.0156,
title = {The diameters of commuting graphs of linear groups and matrix rings over the integers modulo m},
author = {Michael Giudici and Aedan Pope},
journal= {arXiv preprint arXiv:1003.0156},
year = {2010}
}
备注
10 pages, v.3: introduction & bibliography corrected