非单群的非交换非生成图

设 $G$ 为（有限或无限）群，使得 $G/Z(G)$ 非单。群 $G$ 的非交换非生成图 $\Xi(G)$ 以 $G \setminus Z(G)$ 为顶点集，当顶点 $x$ 与 $y$ 满足 $[x,y] \ne 1$ 且 $\langle x, y \rangle \ne G$ 时相邻。我们研究 $G$ 的结构与 $\Xi(G)$ 的连通性及直径之间的关系。特别地，我们证明该图要么：(i) 连通且直径至多为 $4$；(ii) 由孤立顶点与一个直径至多为 $4$ 的连通分支组成；要么 (iii) 是两个直径为 $2$ 的连通分支的并。我们还详细描述了具有 (iii) 型图的有限群。在配套论文 arXiv:2212.01616 中，我们考虑 $G/Z(G)$ 为有限单群的情形。