关于有向图 dijoin 逆转的注记

对于有向图 $D$ 和集合 $X\subseteq V(D)$，其在 $D$ 中的逆转定义为：对所有双端点都在 $X$ 中的边取反方向后得到的图。若用 $\mathrm{inv}(D)$ 表示有向图 $D$ 的逆转数，即将 $D$ 转换为无环有向图所需的最小逆转次数。给定两个有向图 $D_1$ 和 $D_2$，其 dijoin（记作 $D_1\rightarrow D_2$）通过取 $D_1$ 和 $D_2$ 的不相交复制，并添加所有从 $D_1$ 到 $D_2$ 的边构成。我们证明当 $\mathrm{inv}(D_1) = \mathrm{inv}(D_2) \ge 1$ 时，必有 $\mathrm{inv}({D_1 \rightarrow D_2}) > \mathrm{inv}(D_1)$，从而解决了 Aubian 等人提出的疑问。我们的证明通过图逆转数与子图补全数之间的自然联系而进行。