关于使有向图变为$k$-（弧-）强所需的最小反转运数目

有向图$D$中顶点集$X$的{\it 反转}是指反转$D\langle X\rangle$中所有弧的方向。我们研究$sinv'_k(D)$（相应地为$sinv_k(D)$），即将$D$变为$k$-弧-强（相应地为$k$-强）有向图所需的最小反转运数目，以及sinv'_k(n) = \max\{sinv'_k(D) \mid D~\mbox{为阶为n$的$2k-边-连通有向图}\}。我们证明：$(i): \frac{1}{2} \log (n - k+1) \leq sinv'_k(n) \leq \log n + 4k -3$；$(ii):$ 对任意固定的正整数$k$与$t$，判定给定满足$sinv'_k(D)<+\infty$的有向图$D$是否有$sinv'_k(D) \leq t$是NP完全的；$(iii):$ 对任意固定的正整数$k$与$t$，判定给定满足$sinv_k(D)<+\infty$的有向图$D$是否有$sinv_k(D) \leq t$是NP完全的；$(iv):$ 若$T$为阶至少$2k+1$的竞赛图，则$sinv'_k(T) \leq sinv_k(T) \leq 2k$，且$sinv'_k(T) \leq \frac{4}{3}k+o(k)$；$(v):$ 对某个阶为$2k+1$的竞赛图$T$有$\frac{1}{2}\log(2k+1) \leq sinv'_k(T) \leq sinv_k(T)$；$(vi):$ 若$T$为阶至少$19k-2$（相应地为$11k-2$）的竞赛图，则$sinv'_k(T) \leq sinv_k(T) \leq 1$（相应地为$sinv_k(T) \leq 3$）；$(vii):$ 对每个$\epsilon>0$，存在$C$使得对至少$2k+1 + \epsilon k$个顶点的每个竞赛图$T$有$sinv'_k(T) \leq sinv_k(T) \leq C$。