涉及弧反转或去定向的（弧）连通性问题的复杂度

根据Robbins的著名定理，图$G$具有强连通定向当且仅当$G$是2-边连通的，并且可以在线性时间内容易地找出$G$的割边或$G$的强定向。Durand de Gevigney的结果表明，对每个$k\geq 3$，判定给定图$G$是否具有$k$-强定向是NP难的。Thomassen证明了可以在多项式时间内检查给定图是否具有2-强定向。这意味着对于给定的有向图$D$，我们可以在多项式时间内确定是否能够重定方向（=反转）$D=(V,A)$的某些弧以得到2-强有向图$D'=(V,A')$。这自然引出了一个问题：在确定所得图为2-强之前，需要反转的最小此类弧数是多少。本文中我们证明求此数是NP难的。若2-连通图$G$没有2-强定向，我们可问能将其多少条边定向使得所得混合图仍为2-强。类似地，对于2-边连通图$G$，我们可问能将其多少条边定向使得所得混合图保持2-弧强。我们证明，当限制于满足适当连通性条件的图时，这两个问题均等价于在2-边连通图中求必须加倍的最小边数以获得4-边连通图。由此我们证明所有这三个问题都是NP难的。最后，我们考虑有向图$D$中去定向一条弧$uv$的操作，即将其替换为相同顶点间的无向边。就连通性性质而言，这等价于向$D$添加反向弧$vu$。我们证明对每个$\ell\geq 3$，在有向图$D$中求去定向的最小弧数以获得$\ell$-强有向图$D'$是NP难的。