连通图关于交叉族的强定向

给定一个连通图 $G=(V,E)$ 和一个基集 $V$ 上的交叉族 $\mathcal{C}$，使得对于每个 $U\in \mathcal{C}$ 有 $|\delta_G(U)|\geq 2$，我们证明存在 $G$ 关于 $\mathcal{C}$ 的强定向，即 $G$ 的一个定向使得 $\mathcal{C}$ 中的每个集合至少有一条出弧和至少一条入弧。这蕴含了 Chudnovsky 等人（Disjoint dijoins. Journal of Combinatorial Theory, Series B, 120:18--35, 2016）中的主要猜想。特别地，在 Edmonds-Giles 猜想的每个极小反例中，如果有向割的最小权重为 $2$，则非零权重的弧必须是不连通的。