子图与定向：无限族的等分布

一个经典的计数结果表明，给定一个图 $G$ 和一个顶点 $u$，$G$ 的连通子图的数量等于 $G$ 中使得每个顶点都能通过有向路径到达 $u$ 的定向的数量。我们证明，这一结果是一个更广泛的、对应于各种连通性约束的子图与定向之间计数恒等式集合的一个实例。即，给定两组顶点对 $A=\{(u_i,v_i), i\in[k]\}$ 和 $B=\{(u_i',v_i'), i\in[l]\}$，我们考虑 $G$ 的定向 $\alpha$，使得将 $A$ 和 $B$ 中的元素作为额外的有向边添加到 $\alpha$ 中，会得到一个定向 $\alpha'$，其中对于所有 $i\in[k]$，$v_i$ 不能到达 $u_i$，但对于所有 $i\in[l]$，$v_i'$ 可以到达 $u_i'$。我们证明，这个定向集合与一个满足由 $A$ 和 $B$ 定义的“相同”连通性约束的子图集合数量相等。我们还将结果扩展到满足此类连通性约束的定向的等价类的计数。确切地说，我们考虑了在圈反转、余圈反转或圈-余圈反转下的等价类。我们证明，这些等价类与某些由连通性和无圈性约束定义的子图集合数量相等。