关于某些有限群的 super 图与 reduced super 图

对于有限群 $G$，设 $B$ 为 $G$ 上的等价关系（相等、共轭或阶），设 $A$ 为以 $G$ 为顶点集的图（幂图、增强幂图或交换图）。$B$ super $A$ 图是一个以 $G$ 为顶点集的简单图，两个顶点相邻的条件是它们属于同一个 $B$-等价类，或者它们的 $B$-等价类中存在在原图 $A$ 中相邻的元素。从 $B$ super $A$ 图中删除支配顶点（与所有其他顶点相邻的顶点）所得到的图称为 reduced $B$ super $A$ 图。在本文中，对于某些 $B$ super $A$ 图对，我们刻画了使得一对图相等的有限群。我们还刻画了 $G$ 的阶 super 交换图 $\Delta^o(G)$ 的支配顶点，并证明对于 $n\geq 4$，单位元是 $\Delta^o(S_n)$ 和 $\Delta^o(A_n)$ 的唯一支配顶点。我们刻画了使得 $S_n$ 的 reduced 阶 super 交换图 $\Delta^o(S_n)^*$ 和 $A_n$ 的 reduced 阶 super 交换图 $\Delta^o(A_n)^*$ 连通的 $n$ 的值。我们还证明了如果 $\Delta^o(S_n)^*$（或 $\Delta^o(A_n)^*$）连通，则其直径至多为 $3$，并表明对于许多 $n$ 的值，其直径为 $3$。