稠密有向图中的圈

设 G 为一个有向图(无平行边),使得每个有向圈的长度至少为 4;令 $\beta(G)$ 表示 E(G) 中最小的子集 X 的大小,使得 $G\X$ 没有有向圈,并令 $\gamma(G)$ 为顶点对中无序对 {u,v} 的个数,其中 u,v 在 G 中不相邻。容易看到,若 $\gamma(G) = 0$ 则 $\beta(G) = 0$;若 $\gamma(G)$ 有界,我们能对 $\beta(G)$ 说什么?我们证明一般地 $\beta(G)$ 至多为 $\gamma(G)$。我们猜想事实上 $\beta(G)$ 至多为 $\gamma(G)/2$(若为真则是最佳可能的),并在两种特殊情形下证明该猜想:1. 当 V(G) 是两个团的并时,2. 当 G 的顶点可排在一个圆上,使得若不同的 u,v,w 按顺时针顺序且 uw 是一条(有向)边,则 uv 与 vw 也都是。