论几何图中的不相交交叉族
组合数学
2011-03-28 v2 离散数学
摘要
几何图是在平面上绘制的图，其顶点表示为点，边表示为直线段。如果几何图中存在一对边子集 E_1, E_2，使得 |E_1| = k 且 |E_2| = l，E_1 中的边两两交叉，E_2 中的边两两交叉，且 E_1 中的每条边与 E_2 中的每条边都不相交，则称该几何图包含一个 (k,l)-交叉族。我们猜想：对于任意固定的 k, l，每个不含 (k,l)-交叉族的 n 顶点几何图最多有 c_{k,l}n 条边，其中 c_{k,l} 是仅依赖于 k 和 l 的常数。在本文中，通过证明一个将几何图 F 的极值函数与两个完全不相交的 F 的副本的极值函数联系起来的更一般性结果，我们证明了每个不含 (k,k)-交叉族的 n 顶点几何图最多有 c_kn\log n 条边，其中 c_k 是仅依赖于 k 的常数。我们还解决了几何图中不含 (2,1)-交叉族的猜想。作为直接应用，这意味着对于 3 个顶点上的任意圆图 F，每个不包含交集图为 F 的匹配的 n 顶点几何图最多有 O(n) 条边。
引用
@article{arxiv.1004.2850,
title = {On disjoint crossing families in geometric graphs},
author = {Radoslav Fulek and Andrew Suk},
journal= {arXiv preprint arXiv:1004.2850},
year = {2011}
}