点集上几何图的相交族与互交族

设 $S$ 为平面上处于一般位置的 $n$ 个点的集合。连接 $S$ 中点对的两线段若有一个公共内点则称为相交。两个以 $S$ 中点为顶点且顶点不交的几何图，若存在分别属于两图且相交的两条边，则称它们相交。一组以 $S$ 中点为顶点且顶点互不相交的几何图，若其中任意两个都相交，则称为互交族。我们证明存在常数 $c$，使得从任意 $n$ 个互交三角形的族中，总可得到至少 $n^c$ 个互交的 $2$-路径（每个均为从某三角形中删去一条边所得），并给出一个例子说明 $c$ 不能取大于 $2/3$。对每个 $n$，我们确定了 $n$ 个点集合上的哈密顿环可能具有的最大相交数。接下来，我们构造了一个点集，其最长完美匹配不含任何相交。我们还考虑由连接 $S$ 中点对的一条水平与一条垂直线段构成的边，称之为肘形边，并证明任意点集 $S$ 中存在 $\lfloor n/4 \rfloor$ 个顶点不交的互交肘形边族。此外，我们给出一个点集，其至多容纳 $n/3$ 个互交肘形边。最后我们研究未必顶点不交的图的交族。一组以 $S$ 中点为顶点且边不交的图，若对集合中任意两图可各选一条边使它们相交，则称为交族。我们证明了 Lara 与 Rubio-Montiel 的一个猜想，即一般位置的任意 $n$ 点集 $S$ 都容许元素个数为二次数量级的交三角形族。本文还得到了一些其他结果。