无空透镜多重图中的交叉数

设 $G$ 为一个具有 $n$ 个顶点和 $e>4n$ 条边的多重图，绘于平面中使得任意两条平行边构成一个简单闭曲线，其内至少有一个顶点、其外也至少有一个顶点。Pach 与 Tóth(A Crossing Lemma for Multigraphs, SoCG 2018)拓展了 Ajtai 等人(Crossing-free subgraphs, North-Holland Mathematics Studies, 1982)与 Leighton(Complexity issues in VLSI, Foundations of computing series, 1983)的交叉引理，证明若没有两条相邻边交叉且每对不相邻边至多交叉一次，则 $G$ 中边交叉数至少为 $\alpha e^3/n^2$，其中 $\alpha>0$ 为适当常数。若允许非平行边交叉任意多次，情形则截然不同。本文证明此时 $G$ 中交叉数至少为 $\alpha e^{2.5}/n^{1.5}$。该界的数量级无法改进。