分离多重图的边数

我们证明，对于一个具有 $n$ 个顶点的多重图 $G$，如果任意两条边最多交叉一次，平行边不交叉，且 $G$ 中每对平行边所围成的透镜区域包含至少一个顶点，则其边数至多为 $O(n^2\log n)$。作为推论，我们证明了 Ajtai、Chvátal、Newborn、Szemerédi 和 Leighton 的交叉引理的以下推广：如果 $G$ 有 $e \geq 4n$ 条边，则在具有上述性质的 $G$ 的任何绘制中，交叉次数为 $\Omega\left(\frac{e^3}{n^2\log(e/n)}\right)$。这回答了 Kaufmann 等人的一个问题，并且在相差对数因子的意义上是紧致的。