多重图的非同伦画法

如果画在平面上的多重图中，连接同一对顶点的任意两条边都不能在不经过顶点的情况下连续变形为彼此，则称该画法为非同伦的；如果每对边（自）相交最多$k$次，则称其为$k$-交叉的。我们证明了$n$个顶点的非同伦$k$-交叉多重图的边数最多为$6^{13 n (k + 1)}$，这比先前的上界有了很大改进。我们还在单调画法设定下研究了这个问题，其中每条边都是x单调曲线。我们证明了在这种画法中，边数$m$最多为$2 \binom{2n}{k + 1}$，交叉次数为$\Omega\bigl(\frac{m^{2 + 1/k}}{n^{1 + 1/k}}\bigr)$。对于固定的$k$，这些界限在常数乘法因子范围内都是最优的。