含一种禁用单元的图绘制的边密度
组合数学
2026-03-10 v3 离散数学
摘要
一个连通的拓扑绘制将平面划分为若干单元格。单元格的类型是其边界行走中交叉点与顶点的循环序列。例如，所有包含三个incident交叉且不包含incident顶点的三角形单元格共享相同的单元格类型。当一个非同 homotopic绘制的n顶点多图G不包含任何此类三角形单元格时，Ackerman和Tardos[ JCTA 2007]证明G最多有8n-20条边，而Kaufmann等人[ GD 2024]进一步展示了此上界是紧致的。本文着手对含固定单元格类型c的c-free绘制进行深入研究，探讨其对应的图的边密度，即最大可能边数。我们考虑非同 homotopic绘制与简单绘制、多图与简单图以及每种可能的单元格类型c。对于每种绘制样式、图类型和单元格类型的组合，我们给出相应边密度的上界和下界。除去包含四个incident交叉且不包含incident顶点的单元格类型外，我们证明对于每种单元格类型c，n顶点（multi）图的c-free绘制的边密度要么是线性的，要么是超线性的。在大多数情况下，我们的下界与上界在加法常数上紧致。我们进一步考察哪些简单图允许绘制而不包含给定的单元格类型。对于不包含任何交叉的单元格类型，我们给出所有简单图的完整表征，说明哪些图可以绘制而不包含任何此类单元格。此外，我们将简单图允许非同 homotopic准平面绘制的下界从7n-28提高到7.5n-28。
引用
@article{arxiv.2508.16368,
title = {Edge densities of drawings of graphs with one forbidden cell},
author = {Benedikt Hahn and Torsten Ueckerdt and Birgit Vogtenhuber},
journal= {arXiv preprint arXiv:2508.16368},
year = {2026}
}
备注
Appeared at GD 2025