排除单交叉图作为minor的图的直线交叉数

图 $G$ 的交叉数是指在平面中绘制 $G$ 时的最小交叉数。图 $G$ 的直线绘制将 $G$ 的顶点表示为平面中的一组点，并将 $G$ 的每条边表示为连接其两个端点的直线段。$G$ 的直线交叉数是指在 $G$ 的直线绘制中的最小交叉数。根据交叉引理，$n$ 顶点图 $G$ 的交叉数仅为 $O(n)$ 的条件是 $|E(G)|\in O(n)$。已有研究表明，有界属数和有限度图 (B"{o}r"{o}czky, Pach 和 T\'{o}th, 2006) 以及实际上所有有限度的真 minor-闭族 (Wood 和 Telle, 2007) 都具有线性交叉数，Dujmovi\'c, Kawarabayashi, Mohar 和 Wood (2008) 证明了紧确的 $\Theta(\Delta n)$ 界。关于直线交叉数的知之甚少。它不受交叉数的任何函数限制。我们证明了排除单交叉图作为 minor 的图具有 $O(\Delta n)$ 的直线交叉数。这种对 $n$ 和 $\Delta$ 的依赖是最优的。单交叉图是指交叉数至多为 1 的图。因此，该结果适用于无 $K_5$-minor 的图，例如。它也适用于有界树宽图，因为每个有界树宽图族都排除某个固定的平面图作为 minor。在我们工作之前，已知具有线性直线交叉数的有限度 minor-闭族仅有有限度有界树宽图 (Wood 和 Telle, 2007) 以及有限度无 $K_{3,3}$-minor 图 (Dujmovi\'c, Kawarabayashi, Mohar 和 Wood, 2008)。在有界树宽图的情况下，我们的 $O(\Delta n)$ 结果同样是紧确的，并改进了 Wood 和 Telle (2007) 此前已知的最佳界 $O(\Delta^2 n)$（该界是针对凸几何绘制获得的）。