K_10 的矩形横跨数为 62
离散数学
2011-10-04 v1 组合数学
摘要
若图 G 的绘制要求边为线段（而非 Jordan 曲线），则称其为 G 的矩形绘制。我们假设不存在三个顶点共线。图 G 的矩形横跨数是指在所有矩形绘制中可实现的最少边交叉数。感谢 Richard Guy，已知 K_n（n 个顶点的完全图）的矩形横跨数对于 n=3,...,9 的确切值（Guy 1972, White and Beinke 1978, Finch 2000, Sloanes A014540）。自 1971 年以来，感谢 David Singer 的工作（1971, Gardiner 1986），K_10 的矩形横跨数已知要么为 61，要么为 62，这一看似简单而诱人的陈述。确定正确值的困难程度体现在 Singer 的结果经受住时间考验之内。本文使用纯组合论证明 K_10 的矩形横跨数为 62。而且，借助此结果，我们改进了与相关问题相关的渐近下界。最后，我们结尾提出一些新问题和旧问题，这些问题部分源于本文的结果，以及问题本身扎根的悠久历史。
引用
@article{arxiv.cs/0009023,
title = {The Rectilinear Crossing Number of K_10 is 62},
author = {Alex Brodsky and Stephane Durocher and Ellen Gethner},
journal= {arXiv preprint arXiv:cs/0009023},
year = {2011}
}
备注
17 Pages, colour figures