关于完全一致超图的直线交叉数

在本文中，我们考虑了在平面上绘制完全图的直线交叉数问题的一个推广版本。$d$-一致超图的 $d$ 维直线绘制中超边交叉对的最小数量被称为该超图的 $d$ 维直线交叉数。具有 $\mathbb{R}^d$ 中一般位置的 $n$ 个顶点的完全 $d$-一致超图的 $d$ 维直线交叉数的当前最佳已知下界为 $\Omega(\frac{2^d}{\sqrt{d}} \log d) {n \choose 2d}$。在本文中，我们将此下界改进为 $\Omega(2^d) {n \choose 2d}$。我们还考虑了 $d$-一致超图的所有顶点都放置在 $d$ 维矩曲线上的特殊情况。对于此类具有 $n$ 个顶点的完全 $d$-一致超图，我们证明了成对交叉超边的数量为 $\Theta(\frac{4^d}{\sqrt{d}}) {n \choose 2d}$。