关于外平面图半真定向的注记

给定图 $G$ 的一个半真定向，记为 $(D,w)$，是一个定向 $D$ 带一个权函数 $w: A(D)\rightarrow \mathbb{Z}_+$，使得任意相邻顶点的入权不同，其中 $v$ 在 $D$ 中的入权记为 $w^-_D(v)$，是朝向 $v$ 的弧的权之和。图 $G$ 的半真定向数记为 $\overrightarrow{\chi}_s(G)$，是所有半真定向 $(D,w)$ 中 $v$ 的最大入权的最小值。该参数由 Dehghan (2019) 首次引入。当所有边的权等于 1 时，该参数等于 $G$ 的真定向数。最优半真定向是一个半真定向 $(D,w)$ 使得 $\max_{v\in V(G)}w_D^-(v)=\overrightarrow{\chi}_s(G)$。Araújo 等人 (2016) 证明了对于每个仙人掌图 $G$ 有 $\overrightarrow{\chi}(G)\le 7$ 且该界是紧的。我们证明对于每个仙人掌图 $G$，$\overrightarrow{\chi}_s(G) \le 3$ 且该界是紧的。Araújo 等人 (2015) 问是否存在常数 $c$ 使得对所有外平面图 $G$ 有 $\overrightarrow{\chi}(G)\le c$。虽然该问题仍然开放，我们在加权情形下考虑它。我们证明对每个外平面图 $G$，$\overrightarrow{\chi}_s(G)\le 4$ 且该界是紧的。