外平面图(2,1)-全标号数的一个紧上界

图$G$的$(2,1)$-全标号是从顶点集$V(G)$和边集$E(G)$到非负整数集$\{0,1,...,k\}$的一个映射$f$，使得对于所有$x$和$y$属于$V(G)\cup E(G)$，若$x$是顶点且$y$是与$x$关联的边，则$|f(x)-f(y)|\ge 2$；若$x$和$y$是一对相邻顶点或一对相邻边，则$|f(x)-f(y)|\ge 1$。图$G$的$(2,1)$-全标号数$\lambda^T_2(G)$定义为所有可能映射中$k$的最小值。在[D. Chen and W. Wang. (2,1)-Total labelling of outerplanar graphs. Discr. Appl. Math. 155, 2585--2593 (2007)]中，Chen和Wang猜想所有外平面图$G$满足$\lambda^T_2(G) \leq \Delta(G)+2$，其中$\Delta(G)$是$G$的最大度，同时他们证明了对于$\Delta(G)\geq 5$的$G$该猜想成立。本文中，我们通过证明即使在$\Delta(G)\leq 4$的情况下也有$\lambda^T_2(G) \leq \Delta(G)+2$，完全解决了该猜想。