Optimal $L(2,1)$-labeling of certain strong graph bundles cycles over cycles

$L(2,1)$-标签是图 $G=(V,E)$ 的一个函数，将顶点集合 $V(G)$ 的每个元素映射到非负整数集合中，使得相邻顶点的标签相差至少为 2，距离为 2 的顶点的标签相差至少为 1。$f$ 的跨度是 $f(V)$ 中最大数与最小数之差。图 $G$ 的 $\lambda$-数，记作 $\lambda (G)$，是所有 $L(2,1)$-标签中跨度的最小值。我们证明，如果 $X= C_m\boxtimes^{\sigma_\ell} C_{n}$ 是一个直接图捆绑，其纤维为 $C_{n}$ 且基为 $C_m$，当 $n$ 为 11 的倍数且 $\ell$ 形式为 $\ell =[11k+(-1)^a 4m]\mod n$ 或 $\ell =[11k+(-1)^a 3m]\mod n$ 时，其中 $a\in \{1,2\}$ 且 $k\in \mathbb{Z}$，则 $\lambda (X)=10$。