若干无限正则网格的 $L(1,2)$-边标号跨度的改进界

对于给定的两个非负整数 $h$ 和 $k$，图 $G$ 的一个 $L(h,k)$-边标号是将标号 $\{0,1, \cdots, n\}$ 分配给各条边，使得具有公共顶点的两条边的标号差至少为 $h$，且不具有公共顶点但具有连接它们的公共边的两条边的标号差至少为 $k$。跨度 $\lambda'_{h,k}{(G)}$ 是使得 $G$ 容许一个 $L(h,k)$-边标号的最小 $n$。此处我们的主要焦点是求无限正则六边形 ($T_3$)、正方形 ($T_4$)、三角形 ($T_6$) 和八边形 ($T_8$) 网格在 $L(1,2)$-边标号下的 $\lambda'_{1,2}{(G)}$。已知 $7 \leq \lambda'_{1,2}{(T_3)} \leq 8$，$10 \leq \lambda'_{1,2}{(T_4)} \leq 11$，$16 \leq \lambda'_{1,2}{(T_6)} \leq 20$ 以及 $25 \leq \lambda'_{1,2}{(T_8)} \leq 28$。这里我们解决了两个长期存在的开放问题，即 $\lambda'_{1,2}{(T_3)}$ 和 $\lambda'_{1,2}{(T_4)}$。我们证明 $\lambda'_{1,2}{(T_3)} =7$，$\lambda'_{1,2}{(T_4)}= 11$。我们还改进了 $T_6$ 和 $T_8$ 的界，并证明 $\lambda'_{1,2}{(T_6)} \geq 18$，$\lambda'_{1,2}{(T_8)} \geq 26$。