令牌图的 Garland 方法

图 $G=(V,E)$ 的第 $k$ 个令牌图是图 $F_k(G)$，其顶点为 $V$ 的 $k$ 子集，其边为所有满足 $A$ 与 $B$ 的对称差在 $G$ 中形成一条边的 $k$ 子集对 $A,B$。令 $L(G)$ 为 $G$ 的拉普拉斯矩阵，$L_k(G)$ 为 $F_k(G)$ 的拉普拉斯矩阵。Dalf\'o 等人已证明，对于任一具有 $n$ 个顶点的图 $G$ 以及任意 $0\leq \ell \leq k \leq \left\lfloor n/2\right\rfloor$，$L_{\ell}(G)$ 的谱包含于 $L_k(G)$ 的谱中。此处，我们继续研究 $L_k(G)$ 的谱与 $L_{k-1}(G)$ 的谱之间的关系。特别地，我们证明，对于 $1\leq k\leq \left\lfloor n/2\right\rfloor$，任意不属于 $L_{k-1}(G)$ 谱的 $L_k(G)$ 特征值 $\lambda$ 满足 $$k(\lambda_2(L(G))-k+1)\leq \lambda \leq k\lambda_n(L(G)),$$ 其中 $\lambda_2(L(G))$ 是 $L(G)$ 的第二小特征值（即 $G$ 的代数连通度），$\lambda_n(L(G))$ 是其最大特征值。我们的证明依赖于对 Garland 方法的改编，该方法最初是为研究单纯复形的高维拉普拉斯量而发展的。