特征值交叉论证 Garland 方法的 approach

设 X 为纯 d 维单纯形复合体。对于 0 ≤ k ≤ d，设 X(k) 为 X 的 k 维面集合，设 \tilde{L}_k(X) 为 X 上的 k 维加权总拉普拉斯算子，设 \tilde{H}_k(X;\mathbb{R}) 为其 k 维实系数约化同调空间。对于 X 中的 σ，设 lk(X,σ) 为 σ 在 X 中的链接。对于矩阵 M，记 Spec(M) 为 M 的特征值全多集。我们证明，对每个 0 ≤ ℓ < k ≤ d，都有：\n\n$$\text{dim}(\tilde{H}_k(X;\mathbb{R}))\le \sum_{\eta\in X(\ell)}\left| \left\{ \lambda\in \text{Spec}(\tilde{L}_{k-\ell-1}(\text{lk}(X,\eta))) :\, \lambda\le \frac{(\ell+1)(d-k)}{k+1}\right\}\right|.$$\n\n这扩展了 Garland 的经典消失定理，对应于右侧不等式等于零的特殊情况，以及 Hino 和 Kanazawa 最近结果，对应于 ℓ = k-1 的情况。我们证明的主要新技术是一种抽象化的 Garland 局部到全局原理，这源于特征值交叉定理，可独立具有兴趣。