拉普拉斯特征值之和与度数之和

设 $X$ 为一个单纯复合体。对于 $1\le i\le\dim(X)$，设 $X(i)$ 为 $X$ 的 $i$ 维面的集合，记 $f_i(X)=|X(i)|$。对于 $0\le i\le \dim(X)-1$，设 $L_i^+(X)$ 为 $X$ 的第 $i$ 个上拉普拉斯算子。对于 $\sigma\in X$ 和 $1\le r\le \dim(X)$，记 $\text{deg}_X^{(r)}(\sigma)$ 为包含 $\sigma$ 的 $r$ 维面的数目。对于对称矩阵 $M\in \mathbb{R}^{n\times n}$ 和 $1\le i\le n$，记 $\lambda_i(M)$ 为 $M$ 的第 $i$ 大特征值。我们证明：对于任意复合体 $X$，$1\le r\le\dim(X)$，以及 $1\le k\le f_{r-1}(X)/(r+1)$，都有 \begin{equation} \sum_{i=1}^k \lambda_i(L_{r-1}^+(X)) \le \max \left\{ \sum_{\sigma\in A} \text{deg}_X^{(r)}(\sigma) :\, A\subset X(r-1),\, |A|=(r+1)k \right\}. \end{equation} 该不等式尖锐，延续了 Anderson 与 Morley 的经典结果，即对应 $k=1,\, r=1$ 的情形。由此，我们进一步证明：对所有 $1\le r\le \dim(X)$ 和 $1\le k\le f_{r-1}(X)$，都有 \begin{equation} \sum_{i=1}^{k} \lambda_i(L_{r-1}^+(X)) \le f_r(X) + \binom{(r+1)k}{2}. \end{equation} 当 $r=1$ 时，我们得到改进后的界：对每个 $k\ge 1$ 和每个图 $G=(V,E)$，若 $|V|\ge k$，则 \begin{equation} \sum_{i=1}^k \lambda_i(L(G)) \leq |E|+k^2, \end{equation} 其中 $L(G)=L_0^{+}(G)$ 为图 $G$ 的拉普拉斯矩阵。该不等式对所有 $k\ge 3$ 均优于已知结果，可视为进一步一步 Brouwer 猜想的进展，即 \begin{equation} \sum_{i=1}^k \lambda_i(L(G)) \leq |E|+\binom{k+1}{2}. \end{equation} 此外，我们还表明：若 $X$ 为由顶点集合 $V$ 构成的 $(r+1)$ 部分 $r$ 维单纯复合体，且 $1\le k\le f_{r-1}(X)$，则 \begin{equation} \sum_{i=1}^{k} \lambda_i(L_{r-1}^+(X)) \le \sum_{i=1}^k \left|\{v\in V:\, \text{deg}^{(r)}_X(v)\ge i\}\right|. \end{equation} 这解决了 Duval 与 Reiner 猜想的一个特殊情形。