最大拉普拉斯特征值与单纯复形的平衡性

设 $K$ 为一个单纯复形，$\mathcal{L}_i^{up}(K)$ 和 $\mathcal{Q}_i^{up}(K)$ 分别为 $K$ 的第 $i$ 个上拉普拉斯算子和无符号拉普拉斯算子。本文证明了 $\mathcal{L}_i^{up}(K)$ 的最大特征值不大于 $\mathcal{Q}_i^{up}(K)$ 的最大特征值；进一步地，若 $K$ 是 $(i+1)$-道路连通的，则等号成立当且仅当 $K$ 的第 $i$ 个关联符号图 $B_i(K)$ 是平衡的。作为应用，我们给出了 $K$ 的第 $i$ 个上拉普拉斯算子最大特征值的上界，该上界改进了 Horak 和 Jost 给出的界，并推广了 Anderson 和 Morley 关于图的结果。我们刻画了单纯复形在楔和、联结、笛卡尔积和模体复制等运算下的平衡性。对于每个 $i \ge 0$，通过使用楔和或模体复制，我们可以构造无穷多个 $(i+1)$-道路连通的单纯复形 $K$，使得 $B_i(K)$ 是平衡的。