非奇二部广义幂超图的拉普拉斯张量的最大$H$-特征值与谱半径

设 $G$ 为一个简单图或超图，令 $A(G),L(G),Q(G)$ 分别为 $G$ 的邻接、拉普拉斯和无符号拉普拉斯张量。$L(G),Q(G)$ 的最大 $H$-特征值（相应地，谱半径）分别记为 $\lambda_{\max}^L(G), \lambda_{\max}^Q(G)$（相应地，$\rho^L(G), \rho^Q(G)$）。对于连通非二部简单图 $G$，有 $\lambda_{\max}^L(G)=\rho^L(G) < \rho^Q(G)$。但对于非奇二部超图这不成立。我们通过考虑一类广义幂超图 $G^{k,\frac{k}{2}}$ 来研究该问题，该类超图由简单连通图 $G$ 通过将 $G$ 的每个顶点膨胀为一个 $\frac{k}{2}$-集合并保持顶点邻接关系构造而成。假设 $G$ 为非二部，或等价地 $G^{k,\frac{k}{2}}$ 为非奇二部。我们得到如下谱性质：(1) $\rho^L(G^{k,{k \over 2}}) =\rho^Q(G^{k,{k \over 2}})$ 当且仅当 $k$ 是 $4$ 的倍数；在此情形下 $\lambda_{\max}^L(G^{k,\frac{k}{2}})<\rho^L(G^{k,\frac{k}{2}})$。(2) 若 $k\equiv 2 (\!\!\!\mod 4)$，则对充分大的 $k$，有 $\lambda_{\max}^L(G^{k,\frac{k}{2}})<\rho^L(G^{k,\frac{k}{2}})$。受超图 $G^{k,\frac{k}{2}}$ 研究的启发，对于连通非奇二部超图 $G$，我们给出了 $L(G)$ 与 $Q(G)$ 具有相同谱或 $A(G)$ 的谱关于原对称（即 $L(G)$ 与 $Q(G)$，或 $A(G)$ 与 $-A(G)$ 通过具有模 $1$ 对角元素的复（必为非实）对角矩阵相似）的刻画。因此我们回答了 Shao 等人提出的一个问题，即对于非奇二部超图 $G$，$L(G)$ 与 $Q(G)$ 具有相同谱并不能推出它们具有相同的 $H$-谱。