连通奇二分一致超图的若干谱性质与刻画

若 $k$ 为偶数，且存在 $V$ 的某个真子集 $V_1$，使得图 $G$ 的每条边在 $V_1$ 中包含奇数个顶点，则称 $k$-一致超图 $G=(V,E)$ 为奇二分的（odd-bipartite）([5])。奇二分超图是普通二分图的推广。我们研究了连通奇二分超图的谱性质。我们证明了：连通 $k$-一致超图 $G$ 的拉普拉斯 H-谱与无符号拉普拉斯 H-谱相等，当且仅当 $k$ 为偶数且 $G$ 为奇二分图。我们进一步给出了连通奇二分超图的若干谱刻画。我们还刻画了拉普拉斯谱半径与无符号拉普拉斯谱半径相等的连通 $k$-一致超图，从而回答了文献 [9] 中提出的一个问题。通过证明两个奇二分 $k$-一致超图的笛卡尔积 $G\Box H$ 仍然是奇二分的，我们确定了当 $G$ 和 $H$ 均为连通奇二分图时，$G\Box H$ 的拉普拉斯谱半径等于 $G$ 和 $H$ 的拉普拉斯谱半径之和。