伪随机二部图的谱扩展性质

$(a,b)$-正则二部图是具有二部划分 $(X, Y)$ 的二部图，其中 $X$ 中每个顶点的度为 $a$，$Y$ 中每个顶点的度为 $b$。根据二部图扩展混合引理，当第二大邻接特征值不大时，正则二部图具有良好的伪随机性与扩展性质。本文从谱视角证明了正则二部图的若干显式性质。特别地，我们证明对于任意 $(a,b)$-正则二部图 $G$，若谱隙大于 $\frac{2(k-1)}{\sqrt{(a+1)(b+1)}}$，则 $G$ 是 $k$-边连通的；若谱隙至少为 $\frac{2k}{\sqrt{(a+1)(b+1)}}$，则 $G$ 至少有 $k$ 棵边不相交的生成树。我们还证明，若谱隙至少为 $\frac{(k-1)\max\{a,b\}}{2\sqrt{ab - (k-1)\max\{a,b\}}}$，则对于 $k\ge 2$，$G$ 是 $k$-连通的；若谱隙至少为 $\frac{6k+2\max\{a,b\}}{\sqrt{(a-1)(b-1)}}$，则 $G$ 至少有 $k$ 个边不相交的 $2$-连通生成子图。我们在论文中给出了更强的结果。