绑定数严格小于 $1/r$ 的图的极值结果

图的绑定数 $b(G)$ 是由 Woodall [J. Combin. Theory, Ser. B, 1973] 引入的，是结构图论和极值图论的核心议题。它与图的基本组合和结构性质密切相关。具有 $b(G)\geq1$ 的图表现出强扩张特性和高度连通的全局结构。相比之下，$b(G)<1$ 的图的结构仍然远未得到充分了解。Kane 等人 [J. Graph Theory, 1981] 证明若 $b(G)<1$，则 $G$ 的每个绑定集都是独立的。Goddard 和 Swart [Quaest. Math., 1990] 表明若 $b(G)\leq1$，则韧性 $\tau(G)\leq b(G)$。这使得研究 $b(G)<1$ 的图的极值问题尤为有趣。对于任意整数 $r\geq1$，我们完全刻画了在所有阶为 $n$ 且满足 $b(G)<\frac{1}{r}$ 的图中，唯一的极大图（最大化大小或谱半径）。对于任意二分图 $G=(X,Y)$ 上的 $n$ 顶点图，显然可得 $b(G)\leq\min\{|X|/|Y|,|Y|/|X|\}\leq1$。值得注意的是，完全平衡二分图 $K_{\frac{n}{2}, \frac{n}{2}}$ 在所有 $b(G)=1$ 的二分图中实现最大大小（谱半径）。本文完全确定了在所有二分图中，最大化大小或谱半径且 $b(G)<\frac{1}{r}$（其中 $r\geq1$ 为整数）的极值图。