论 token 图的特征值谱与谱半径

设 $G$ 为具有 $n$ 个顶点的图。$G$ 的 $k$-token 图（或对称 $k$ 次幂）记为 $F_k(G)$，其顶点为 $G$ 中 ${n\choose k}$ 个 $k$ 顶点子集，当两个顶点的对称差为 $G$ 中一对相邻顶点时二者相邻。特别地，$F_k(K_n)$ 为 Johnson 图 $J(n,k)$，它是编码论中使用的距离正则图。本文给出关于 $F_k(G)$ 的（邻接与拉普拉斯）谱相对于 $G$ 的谱的一些结果。例如，当 $G$ 为游走正则图时，得到 $F_k(G)$ 谱半径 $\rho$（或最大特征值）的精确值。当 $G$ 为距离正则图时，利用其等分子划分理论导出其 $2$-token 图的其他特征值。并提出对 Aldous 谱隙猜想（现已成为定理）的一个推广。