基于奇偶闭行走的幂超图与带号图谱

$k$-幂超图 $G^{(k)}$ 是对图 $G$ 的每条边添加 $k-2$ 个新顶点所得的 $k$-一致超图，其中 $k \geq 3$。$G$ 中的奇偶闭行走是指每条边使用偶数次的闭行走。在早前论文中，我们利用 $G$ 的带号子图的特征值确定了 $G^{(k)}$ 邻接张量的特征值。此处，我们用 $G$ 的奇偶闭行走表示出 $G^{(k)}$ 的完整谱（即确定所有重数与特征多项式）。此外，我们给出了 $G^{(k)}$ 谱半径重数的显式表达。我们的结果主要通过利用所谓的迹公式确定 $G^{(k)}$ 的谱矩得到。作为一个附带结果，我们表明给定长度的奇偶闭行走数等于以 $G$ 为底层图的所有带号图上对应的平均谱矩。我们还将 $G^{(k)}$ 的特征多项式外推至 $k=2$，从而引入伪特征函数。在其他结果中，我们证明该函数是 $G$ 上所有带号图特征多项式的几何平均，并刻画了其何时为多项式。这补充了 Godsil 与 Gutman 的一个结果：以 $G$ 为底层图的所有带号图特征多项式的算术平均等于 $G$ 的匹配多项式。